Encontre o domínio da função:

c) h(x) = 1 / raiz(x^2 - 5x)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o domínio da função h x = 1 x 2 - 5 x 4 . Pra determinar o domínio de uma função a gente sempre precisa pensar nos valores que x pode ou não assumir. Isso porque o domínio é o conjunto de todos os valores possíveis para a variável independente da função.

Nos casos em que a função não possui nenhuma restrição no domínio, seu domínio é o conjunto dos números reais. Mas nem sempre vai ser o conjunto completo, porque tem alguns valores que a função não pode assumir.

No nosso caso, temos uma fração, que não pode ter denominador igual a zero, e uma raiz de índice par, que não pode ter negativo. Essas vão ser nossas restrições.

Vamos lá!

Passo 2

Como nosso denominador não pode ser zero e não pode ser negativo (maior ou igual a zero), temos para h x = 1 x 2 - 5 x 4 :

x 2 - 5 x > 0

Podemos colocar x em evidência:

x x - 5 > 0

Para que um produto entre dois números seja positivo (maior do que zero), os dois precisam ter sinais iguais, ambos negativos ou ambos positivos. Vamos analisar, então, os casos:

x > 0

x - 5 > 0 → x > 5

E

x < 0

x - 5 < 0 → x < 5

Passo 3

Para o caso em que ambos são positivos, x > 0 e x - 5 > 0 , temos na reta numérica:

Podemos ver que x - 5 > 0 possui parte de x > 0 , então a interseção dos dois conjuntos nos dá:

Agora para o caso em que os dois termos são negativos, x < 0 e x - 5 < 0 , temos:

Também dá pra ver que x - 5 < 0 possui parte de x < 0 , então temos que:

Então, nosso domínio vai ser a união dos dois conjuntos resultantes para os dois casos, ou seja:

- ∞ ,   0 ∪ ( 5 ,   + ∞ )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- ∞ ,   0 ∪ ( 5 ,   + ∞ )

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