Encontre as funções g ∘ g e seu domínio

c) f(x) = ln(x), g(x) = x^2 - 9

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essas funções aqui

f x = ln ⁡ x ,   g x = x 2 - 9

E pediu a composta:

g ∘ g

E seu respectivo domínio. Mas você lembra o que é uma função composta?

É quando dentro de uma função temos outra! Assim, por exemplo,

f ∘ g = f g x

Então dentro do que seria a variável de f , vamos ter a função g !

e pediu para encontrar o domínio dela. Mas você lembra como encontrar?

O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis de x . Em outras palavras: vamos precisar investigar onde essa função não funciona e retirar esses pontos do conjunto dos reais (nosso maior conjunto possível)

Precisamos fugir de:

  • Divisão por zero
  • Raíz de índice par de número negativo
  • Logaritmo de número menor do que 0

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Passo 3

A nossa composta é

g ∘ g = g ( g ( x ) )

Nossas funções

f x = ln ⁡ x ,   g x = x 2 - 9

Nossa composta dessa vez só envolve a função g , então dentro dela vai ter ela mesmo! Daí a composta é

g g x = g x 2 - 9 = x 2 - 9 2 - 9

g g x = x 4 - 18 x 2 - 90

Beleza?

Passo 4

Agora nossa missão é achar o domínio da composta!

g g x = x 4 - 18 x 2 - 90

Temos um polinômio que é contínuo, bem-comportado e sem defeitos no domínio. Quando colocamos dentro dele outro polinômio, muda alguma coisa?

Muda nada! Temos como resultado um outro polinômio! A composição de duas funções contínuas em todos os reais é também um função válida em todos os reais!

Daí o domínio fica

D o m g g x = - ∞ ,   + ∞

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

D o m g g x = - ∞ ,   + ∞

g g x = x 4 - 18 x 2 - 90

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