Encontre as funções g ∘ f e seus domínios

b) f(x) = sen(x), g(x) = x^2 + 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essas funções aqui

f x = sin ⁡ x ,   g x = x 2 + 1

E pediu a composta:

g ∘ f

E seus respectivos domínios. Mas você lembra o que é uma função composta?

É quando dentro de uma função temos outra! Assim, por exemplo,

f ∘ g = f g x

Então dentro do que seria a variável de f , vamos ter a função g !

e pediu para encontrar o domínio dela. Mas você lembra como encontrar?

O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis de x . Em outras palavras: vamos precisar investigar onde essa função não funciona e retirar esses pontos do conjunto dos reais (nosso maior conjunto possível)

Precisamos fugir de:

  • Divisão por zero
  • Raíz de índice par de número negativo
  • Logaritmo de número menor do que 0 e diferente dele

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Passo 3

A composta é

g ∘ f = g ( f ( x ) )

Nossas funções são

f x = sin ⁡ x ,   g x = x 2 + 1

Daí a composta fica

g f x = f x 2 + 1 = sin 2 ⁡ x + 1

g f x = sin 2 ⁡ x + 1

Beleza?

Passo 4

Agora nossa missão é achar o domínio da composta!

g f x = sin 2 ⁡ x + 1

Temos uma função seno que é contínua, bem-comportada e sem defeitos no domínio. Quando elevamos ele ao quadrado, muda alguma coisa?

Muda nada! A composição de duas funções contínuas em todos os reais é também um função válida em todos os reais!

Daí o domínio fica

D o m g f x = - ∞ ,   + ∞

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

D o m f g x = - ∞ ,   + ∞

g f x = sin 2 ⁡ x + 1

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