Encontre as funções f ∘ f e seus domínios

b) f(x) = sen(x), g(x) = x^2 + 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essas funções aqui

f x = sin ⁡ x ,   g x = x 2 + 1

E pediu a composta:

f ∘ f

E seus respectivos domínios. Mas você lembra o que é uma função composta?

É quando dentro de uma função temos outra! Assim, por exemplo,

f ∘ g = f g x

Então dentro do que seria a variável de f , vamos ter a função g !

e pediu para encontrar o domínio dela. Mas você lembra como encontrar?

O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis de x . Em outras palavras: vamos precisar investigar onde essa função não funciona e retirar esses pontos do conjunto dos reais (nosso maior conjunto possível)

Precisamos fugir de:

  • Divisão por zero
  • Raíz de índice par de número negativo
  • Logaritmo de número menor do que 0

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Passo 3

A primeira composta é

f ∘ f = f ( f ( x ) )

Nossas funções

f x = sin ⁡ x ,   g x = x 2 + 1

Nossa composta dessa vez só envolve a função f , então dentro dela vai ter ela mesmo! Daí a composta é

f f x = sin ⁡ ( f ( x ) )

f f x = sin ⁡ ( sin ⁡ x )

Beleza?

Passo 4

Agora nossa missão é achar o domínio da composta!

f f x = sin ⁡ ( sin ⁡ x )

Temos uma função seno que é contínua, bem-comportada e sem defeitos no domínio. Quando colocamos dentro dele outro seno, muda alguma coisa?

Muda nada! A composição de duas funções contínuas em todos os reais é também um função válida em todos os reais!

Daí o domínio fica

D o m g f x = - ∞ ,   + ∞

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

D o m f g x = - ∞ ,   + ∞

f f x = sin ⁡ ( sin ⁡ x )

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