UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Prof° Sato - Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista de Exercícios, Questão 3.11e
Encontre uma restrição para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa . Em cada caso, especifique o domínio e o contradomínio da inversa, e também, sua lei de formação, nos casos seguintes:
Passo 1
Eaew, belezinha?
O que o enunciado quer que achemos uma restrição sobre a função
e, então usemos a restrição definida para encontrar uma inversa, especificando seu domínio e contradomínio! Aqui, o processo varia de caso a caso, então! Vem comigo!
Passo 2
Temos a função dada por
uma restrição existente é tal que
pois queremos manter o contradomínio nos reais. Isso nos leva ao seguinte polinômio de grau
Polinômios de segunda ordem em geral não admitem inversa, mas, se limitarmos o seu domínio, é possível construir uma! Precisamos saber onde fica o vértice da parábola! Saca só!
Passo 3
Usando Bhaskara para encontrar as raízes de nosso polinômio, temos que
em geral o vértice da parábola está posicionado em , em que é a parte real de uma raiz complexa, sendo assim, o vértice de nossa parábola está posicionado em . Ou seja, contanto que consideremos nosso domínio em ou , podemos construir uma inversa para , que será dada por
evidenciando as , temos que
ou seja, a inversa é apenas definida implicitamente
A função só tem validade quando , e lembre que para que a inversa exista, é necessário que ou , onde a função vale
Portanto, o domínio da inversa é tal que
e
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
, , e