Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um

setor circular e juntando as arestas CA e CB (veja a Figura 3a). Ache a razão entre o raio e a

profundidade do filtro de capacidade máxima.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos descobrir qual a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máxima.

Bem, se estamos falando de capacidade máxima, precisamos calcular o volume do filtro. Para isso precisamos descobrir algumas medidas.

Passo 2

Seja t , o menor ângulo A C B . Dessa forma, temos que o comprimento do menor arco A B é dado por:

t a

Dessa forma, o comprimento da circunferência do nosso cone é nosso cone

( 2 π - t ) a

Com isso, podemos definir o raio dessa circunferência como:

2 π r = ( 2 π - t ) a

⇒ r = ( 1 - t / 2 π ) a

Vamos chamar t / 2 π   = x , para simplificar a notação:

⇒ r = ( 1 - x ) a

Agora que temos nosso raio da base do cone. Podemos usar pitágoras para descobrirmos a altura. Temos que:

a ² = h ² + r ²

⇒ h ² = a ² - ( 1 - x ) ² a ²

⇒ h ² = a 2 ( 2 x - x ² )

Logo

⇒ h = a ( 2 x - x ² ) 1 / 2

Passo 3

Agora que temos o raio e a altura do cone. Podemos calcular seu volume. Que é dado por

V = 1 3 π r ² h

= 1 3 π ( 1 - x ) ² a ³ ( 2 x - x ² ) 1 / 2

Vamos descobrir para qual valor de x o volume é máximo, derivando e igualando a zero temos:

( 1 - x ) ( 3 x ² - 6 x + 1 ) - a ² ( x - 2 ) x = 0

Cujas raízes são:

x = 1

x = 1 - 2 / 3

x = 1 + 2 / 3

Fazendo o estudo de sinal da primeira derivada. Vemos que o ponto de máximo ocorre em

x = 1 - 2 / 3

Passo 4

Logo, a razão entre o raio e a altura do cone de maior volume é:

r / h = ( 1 - x ) a a 2 x - x ²

= ( 2 / 3 ) 2 ( - 2 / 3 ) - ( - 2 / 3 ) ²

= 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

2

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