UFES, 2018.1, Lista 5, Q11
11) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Eaí galerinha, como vocês estão?
Mais um limite, e o primeiro passo é sempre substituir o valor que está tendendo na nossa expressão. Fazendo isso, a gente fica com:
Isso é uma indeterminação matemática, então vamos precisar raciocinar um pouco mais usando outras ideias.
Passo 2
Pensa comigo: Esse é muito feio e tá atrapalhando o desenvolvimento da expressão. Vamos tentar então usar algum artifício que faça esse cara sumir. Uma ideia legal é lembrar da relação fundamental da trigonometria:
Então, vamos manipular um pouco nossa expressão substituindo o 1 por essa relação:
Beleza! Isso já ajudou a gente um pouco porque na primeira fração já temos o formato do limite fundamental trigonométrico.
Mas na segunda vamos ter que pensar mais um pouco. Um dos problemas é que temos e no denominador. Precisamos tirar pelo menos o seno do denominador e colocar no numerador. Bora usar umas ferramentas da trigonometria.
Uma fórmula que é muito bizu ter guardada é:
Daí, a gente pode dizer que:
Substituindo isso na expressão que achamos, temos:
Legal, agora já tamos com a faca e o queijo na mão pra sumir com esse seno do denominador. É só lembrar dessa relação aqui, que também é muito bom ter na manga:
Logo,
Aí substituindo, temos:
Ae, muito bom pessoal! Foram algumas fórmulas de trigonometria, mas calma, a maioria delas ficam se repetindo nesses exercícios de limites, então vamos pegar elas naturalmente. Mas vai ficando ligado nas que vamos usando, pra você saber que tem elas quando precisar.
Passo 3
Vamos voltar pro nosso limite para enfim calcular ele. Vimos que:
Beleza, só pra deixar bem do jeitinho do limite fundamental, vou multiplicar por a última fração pra ficar assim:
Show, aplicando o limite e usando o limite fundamental trigonométrico, temos que:
Prontinho 😊