UFES, 2018.1, Lista 4, Q27
27) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Eaí pessoal, vamo matar mais uma questão!!
Sempre precisamos começar substituindo o valor da tendência de na expressão. Ao fazermos isso, temos:
Que não conseguimos determinar, porque é indeterminado.
Poderíamos pensar em duas coisas: Tentar retirar a indeterminação ou tentar encaixar isso no limite fundamental trigonométrico.
O problema desses dois caminhos é que como a indeterminação está dentro do argumento, é muito difícil conseguir retirá-la. Além disso, para usar o limite fundamental trigonométrico, o argumento do seno precisa tender a zero, mas aqui acontece o contrário.
Nesse tipo de situação, em que o argumento da função trigonométrica está trazendo a indeterminação, é uma boa verificar se essa função não é limitada, pois caso ela seja podemos buscar usar o teorema do confronto ou o teorema do anulamento.
Passo 2
Vamos relembrar o teorema do anulamento:
Se é uma função limitada e tende a zero quando , então:
Beleza! O nosso trabalho agora é verificar se obedece a essas hipóteses.
- é limitada, pois:
- tende a zero quando
Logo, as hipóteses foram obedecidas. Temos a tão esperada conclusão:
Prontinho!!