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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2018, VE1, Q1A

Calcule ou mostre que não existe. (Não use qualquer artifício que envolva derivação).

  1. lim x → 0 + ⁡ 1 + x 1 arctan ⁡ x

  2. lim x → 2 ⁡ tan ⁡ x - 2 x 1 4 - 2 1 4

Passo 1

Falaaa, pessoal! Sempre em busca dos limites fundamentais, vamos a alguns artifícios:

lim x → 0 + ⁡ 1 + x 1 arctan ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ exp ⁡ ln ⁡ 1 + x 1 arctan ⁡ x

Como a exponencial e x é uma função contínua nos reais, podemos passar o limite para dentro da função:

lim x → 0 + ⁡ exp ⁡ ln ⁡ 1 + x 1 arctan ⁡ x = exp ⁡ lim x → 0 + ln ⁡ 1 + x 1 arctan ⁡ x =

= exp ⁡ lim x → 0 + ln ⁡ 1 + x 1 x ⋅ x arctan ⁡ x = exp ⁡ l i m x → 0 + x arctan ⁡ x ln ⁡ 1 + x 1 x

Pela regra do produto (depende dos limites existirem).

exp ⁡ l i m x → 0 + x arctan ⁡ x ln ⁡ 1 + x 1 x = exp ⁡ l i m x → 0 + x arctan ⁡ x ⋅ l i m x → 0 + ln ⁡ 1 + x 1 x

Passo 2

Para o primeiro limite considere a mudança de variável a = arctan ⁡ x , tal que a → 0 + quando x → 0 + :

l i m x → 0 + x arctan ⁡ x = l i m a → 0 + tan ⁡ a a = l i m a → 0 + sin ⁡ a a ⋅ l i m a → 0 + 1 cos ⁡ a

Pelo limite fundamental:

l i m a → 0 + sin ⁡ a a ⋅ l i m a → 0 + 1 cos ⁡ a = 1 ⋅ 1 1 = 1

Enquanto no segundo limite da expressão que chegamos no passo 1, observe que o argumento (o que vai dentro da função) do ln é positivo. Como l n é contínua para reais positivos, podemos passar o limite para seu interior:

l i m x → 0 + ln ⁡ 1 + x 1 x = ln ⁡ l i m x → 0 + 1 + x 1 x

Pelo limite fundamental:

ln ⁡ l i m x → 0 + 1 + x 1 x = ln ⁡ e = 1                                                            

Passo 3

Assim, retomando o limite original:

exp ⁡ l i m x → 0 + x arctan ⁡ x ⋅ l i m x → 0 + ln ⁡ 1 + x 1 x = exp ⁡ 1 ⋅ 1 = e

Resposta

e

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