O limite trigonométrico fundamental nos diz que lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x = 1 . Use essa informação para calcular os limites abaixo.

(a) lim x → 0 ⁡ s e n ( 6 x ) 2 x

Passo 1

Fala, meus lindos e lindas 😊. Nessa questão, vamos trabalhar com limites trigonométricos partindo apenas da informação que lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x = 1 . Para resolvermos os “desafios” apresentados, nos bastará realizar algumas manipulações matemáticas simples, não temam!!

Letra a:

lim x → 0 ⁡ s e n ( 6 x ) 2 x

Observem que a gente pode fazer a seguinte substituição:

6 x = u  

Daqui, fazemos as seguintes observações:

  1. 2 x =   u 3
  2. Q u a n d o   x → 0   ,   u → 0   t a m b é m

Podemos agora substituir no limite:

lim x → 0 ⁡ s e n ( 6 x ) 2 x =   lim u → 0 ⁡ s e n u u 3 =   lim u → 0 ⁡ ( 3 × s e n u u ) = 3   ×  lim        u → 0 ⁡ s e n u u  

Do limite trigonométrico fundamental, temos que:

 lim        u → 0 ⁡ s e n u u = 1

Então:

lim x → 0 ⁡ s e n ( 6 x ) 2 x = 3   ×  lim        u → 0 ⁡ s e n u u =     3   × 1

lim x → 0 ⁡ s e n ( 6 x ) 2 x = 3

Passo 2

Nossa letra “a” foi resolvida, porém podemos fazer uma observação interessantíssima que envolve esse modelo de exercício:

lim x → 0 ⁡ s e n a x b x =   ?

É aqui que a diversão começa hehe, vamos usufruir daquela mesma ideia de substituição:

u = a x

Daqui tiramos:

  1. b x = b u a
  2. Q u a n d o   x → 0 ,     u - > 0   t a m b é m

Daí:

lim x → 0 ⁡ s e n a x b x =   lim u → 0 ⁡ s e n u b u a =   lim ⁡ ( x → 0 ⁡ a b × s e n u u ) =   a b   ×   lim ⁡ x → 0 ⁡ s e n u u =     a b   × 1 =   a b

Hmmmn

Então, em resumo:

lim x → 0 ⁡ s e n a x b x =   a b

Malandragem instalada com sucesso hehe.

Até a próxima, galerinha do bem o/

Resposta

a) 3

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)