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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2021, VF, Q3B

Calcule ou mostre que não existe.

  1. lim x → 0   ⁡ arcsin ⁡ x - sin ⁡ x arctan ⁡ x - x cos ⁡ x
  2. lim x → 0 + ⁡ 1 + x x + x 1 x

Restrição: o uso da Regra de L’Hôpital só poderá ser utilizado em apenas um dos itens.

Passo 1

Faaaala, molecada! AQUI TEM MATEMÁTICA RAIZ! Vamos fazer por limites fundamentais. Repare que:

L ≔ lim x → 0 + ⁡ 1 + x x + x 1 x = lim x → 0 + ⁡ 1 + x 1 + x x 1 x ⋅ 1 + x x ⋅ 1 x =

= lim x → 0 + ⁡ 1 + x 1 + x x 1 + x x x ⋅ 1 1 + x x ⋅ l i m x → 0 + 1 + x x ⋅ 1 x                 ( p r o d u t o )

Utilizando que x = e x p ⁡ ( ln ⁡ x ) , temos:

L = lim x → 0 + ⁡ exp ⁡ 1 1 + x x ln ⁡ 1 + x 1 + x x 1 + x x x ⋅ ⋅ l i m x → 0 + 1 + x 1 ⏟ = 1            

Como exp ⁡ x = e x é uma função contínua para todo real, podemos passar o limite para dentro:

L = exp ⁡ lim x → 0 + ⁡ 1 1 + x x ln ⁡ 1 + x 1 + x x 1 + x x x ⋅ =            

= exp ⁡ lim x → 0 + ⁡ 1 1 + x x ⏟ = 1 ⋅ lim x → 0 + ln ⁡ 1 + x 1 + x x 1 + x x x ⋅     ( p r o d u t o )

Como l n ⁡ ( x ) é uma função contínua para valores positivos, podemos passar o limite para dentro de seu argumento:

L = exp ⁡ l n ⁡ { l i m x → 0 + 1 + x 1 + x x 1 + x x x ⋅ } =    

= l i m x → 0 + 1 + x 1 + x x 1 + x x x ⋅

Repare que se tomarmos u = x 1 + x x , temos lim x → 0 +   ⁡ u = 0 + , logo

L = lim u → 0 + ⁡ 1 + u 1 u = e

Que é um limite fundamental.

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 + x x + x 1 x = e

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