UFES, 2018.1, Lista 4, Q22
22) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Eaí galera do Responde aí! Tudo bom com vocês?
Esse limite tem a cara do limite fundamental trigonométrico, porque tem uma função trigonométrica no numerador e um monômio no denominador. Vamos tentar deixar ele mais parecido ainda.
Nesse tipo de questão algumas propriedades trigonométricas são bem importantes, como estou querendo sair do cosseno e chegar no seno, podemos usar a seguinte identidade trigonométrica:
Daí, vem que:
Passo 2
Estamos quase no limite fundamental trigonométrico. Mas tem duas coisas nos atrapalhando. A primeira é que o seno está ao quadrado, e a segunda é que o argumento do seno ainda não tá aparecendo no denominador. Então bora pra manipulação matemática:
Passo 3
Opa, então já temos a expressão no formato bonitinho do nosso querido limite fundamental trigonométrico. Então agora é só usar a substituição de variável no limite, fazendo:
Daí finalmente chegamos que: