Calcule os seguintes limites

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ t g 1 x

Passo 1

Vamos usar a propriedade que reúne os logaritmos somados:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ tg ⁡ 1 x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x . tg ⁡ 1 x

E repara, multiplicar uma função por x é o mesmo que dividir por 1 x .

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ tg ⁡ 1 x 1 x

E pela continuidade, podemos resolver o limite de dentro e depois aplicar no logaritmo:

ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ tg ⁡ 1 x 1 x

Passo 2

Você talvez esteja se perguntando por que eu passei o x multiplicando como 1 x dividindo. A ideia disse é fazer aparecer um limite fundamental agora, já que temos a tangente com esse mesmo argumento dentro dela:

lim x → + ∞ ⁡ tg ⁡ 1 x 1 x = lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 x . 1 cos ⁡ 1 x  

= lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 x   . lim x → + ∞ ⁡ 1 cos ⁡ 1 x  

Passo 3

Substituindo o limite fundamental no primeiro e o x no segundo , temos:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 x   . lim x → + ∞ ⁡ 1 cos ⁡ 1 x   = 1 1 cos ⁡ 0

= 1

Assim, o limite será,

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ tg ⁡ 1 x = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 x   . lim x → + ∞ ⁡ 1 cos ⁡ 1 x  

= ln ⁡ 1 = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ tg ⁡ 1 x = 0

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