1. Calcule os limites abaixo:

i. lim x → 0 ⁡ tan 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 0 ⁡ tan 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3

Quando eu vejo uma função que tem uma função trigonométrica no numerador e x no denominador, eu já fico desconfiada de que tenho que usar o Limite Fundamental Trigonométrico, porque eles tem essa cara meio parecida. O Limite Fundamental Trigonométrico diz isso aqui ó:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas repara que temos uma tangente e não um seno. Então vamos aplicar o que sabemos de relações trigonométricas, para resolver esse limite!

Passo 2

Lembra que,

tan ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

Logo, podemos escrever o nosso limite assim,

lim x → 0 ⁡ tan 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3 = lim x → 0 ⁡ sen 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3 cos 3 ⁡ x + 1 4

E como estamos procurando deixar nossa função mais parecida com o Limite Fundamental Trigonométrico, vamos deixar o seno junto com o denominador e separar o cosseno.

lim x → 0 ⁡ tan 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3 = lim x → 0 ⁡ sen 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3 . lim x → 0 ⁡ 1 cos 3 ⁡ x + 1 4

Bora resolver cada limite em separado!

Passo 3

Resolvendo o primeiro,

lim x → 0 ⁡ sen 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3

Repara que podemos escrever assim,

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x + 1 4 x + 1 3 = l i m x → 0   sen ⁡ x + 1 4 x + 1 3

Mas repara que o argumento do seno está diferente do denominador. Quando nós temos um caso deste tipo, uma solução é deixar o denominador igual o argumento do seno (pra ficar mais parecido com o Limite Fundamental Trigonométrico). Neste caso, a gente pode fazer isso multiplicando por 1 / 4 em cima e embaixo.

l i m x → 0   sen ⁡ x + 1 4 x + 1 3 = l i m x → 0   1 4 sen ⁡ x + 1 4 x + 1 4 3

Opaaaa! Repara que agora podemos aplicar o limite fundamental trigonométrico aqui:

l i m x → 0   1 4 sen ⁡ x + 1 4 x + 1 4 3 = 1 4 l i m x → 0   sen ⁡ x + 1 4 x + 1 4 3 1 4 . 1 3 = 1 64

Logo,

lim x → 0 ⁡ sen 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3 = 1 64

Agora vamos para o segundo limite!

Passo 4

Pra resolver a segunda parte do limite, basta a gente substituir x = 0 :

lim x → 0 ⁡ 1 cos 3 ⁡ x + 1 4 = 1 cos 3 ⁡ 1 4 ≅ 9 10

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

Com isso, temos que

lim x → 0 ⁡ tan 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3 = lim x → 0 ⁡ sen 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3 . lim x → 0 ⁡ 1 cos 3 ⁡ x + 1 4

Substituindo,

lim x → 0 ⁡ tan 3 ⁡ x + 1 4 x + 1 3 = 1 64 . 9 10 = 9 640

Prontinho!

Resposta

9 640

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)