UFES, 2018.1, Lista 5, Q14
14) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Fala gente bonita!
A primeira ideia mais uma vez é substituir dentro do limite e analisar o que temos:
Pois é! Uma indeterminação matemática. Então, vamos pensar mais um pouco.
Passo 2
Temos que pensar em como tirar esses zeros do nosso limite. No numerador, o zero é devido ao e no denominador é devido ao .
Bom, é um pouco difícil visualizar logo de cara o que fazer, porque não tem muitas identidades trigonométricas que possamos usar pra de uma vez só conseguir tirar as indeterminações.
Vamos pensar assim então:
Por qual expressão podemos multiplicar de modo que o resultado tenha algo a ver com ?
Lembra do produto notável da diferença de quadrados? Então, é justamente isso:
Só que pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que:
Top. Vamos na nossa expressão do limite e multiplicar ela por :
Show! Vamos voltar pro limite e ver se conseguimos remover pelo menos um desses zeros.
Passo 3
Agora só precisamos aplicar o limite nessa expressão. De onde vem que
Apenas substituindo por , temos:
Prontinho 😊