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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

UFES, 2018.1, Lista 4, Q23

23) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 - s e c ⁡ ( x ) x 2

Passo 1

Bora matar mais uma questão!!

Esse limite tem a cara do limite fundamental trigonométrico, porque tem uma função trigonométrica no numerador e um monômio no denominador. Vamos tentar deixar ele mais parecido ainda.

O objetivo é aparecer o seno no numerador usando algumas identidades trigonométricas importantes nesse assunto:

1 - sec ⁡ x = 1 - 1 cos ⁡ x = cos ⁡ x - 1 cos ⁡ x  

Mas, lembra que:

cos ⁡ x = 1 - 2 s e n 2 x 2                  

Daí vem que:

1 - sec ⁡ x =   - 2 s e n 2 x 2 cos ⁡ x

Beleza, já apareceu o seno no numerador! 😊

Passo 2

Vamos substituir essa expressão no limite:

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x 2 =   l i m x → 0   - 2 s e n 2 x 2 x 2 ⋅ cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x ⋅ s e n x 2 x ⋅ s e n x 2 x =  

=   lim x → 0 ⁡ - 1 2 cos ⁡ x ⋅ s e n x 2 x 2 ⋅ s e n x 2 x 2 =   l i m x → 0 - 1 2 cos ⁡ x ⋅ l i m x → 0 s e n x 2 x 2 ⋅     l i m x → 0 s e n x 2 x 2  

Lembrando que essa separação dos produtos só é válida porque cada um desses limites existe e é finito.

Passo 3

Estamos quase terminando. Apenas pra ficar bem claro o que estamos fazendo, vamos aplicar a substituição no limite.

u = x 2 ∴ x → 0 ⇒ u → 0

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x 2 = - 1 2 ⋅ l i m x → 0 1 cos ⁡ x ⋅   l i m u → 0 s e n u u ⋅   l i m u → 0 s e n u u =   - 1 2

Prontinho! Mais uma questão finalizada.

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - s e c ⁡ ( x ) x 2 = - 1 2  

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