UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Provas - Teste 9 - AV1 - 2018.1 - Questão 2 - Alternativa d)
Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Oiiie, tudo bem com você?
A questão pede para que calculemos o limite
Para isso iremos ter que manipular a razão que está no limite de maneira que tenhamos um resultado que não é indeterminado. A primeira coisa que costumamos fazer é avaliar a expressão no valor indicado no limite, ou seja, , como temos que e , o limite se torna
O que é indeterminado! Mas, e agora, o que fazemos? Isso é uma resposta válida? NÃO! Vamos manipular a expressão até que este resultado seja claro matematicamente! Vem comigo!
Passo 2
Hmmm, mas o que podemos fazer para reescrever esse limite que é uma razão de funções trigonométricas? A dica que dou é, utilizar relações trigonométricas que conectem ambas as funções! A primeira coisa que podemos lembrar é que
Ou seja, o limite se torna
Mas isso ainda não melhorou muita coisa, continua sendo . Mas, temos um limite fundamental bastante conhecido que será útil desta vez! Temos que
em que é uma constante qualquer! Tente manipular o limite para identificar este limite fundamental! Daí vem checar a resposta comigo!
Passo 3
Primeira coisa que podemos fazer é multiplicar e dividir o nosso limite por e por , de forma que possamos escrever
Nós podemos escrever este limite como o produto dos seguintes limites
Utilizando que
Podemos escrever o nosso limite como
Com isso já é possível aplicar nossos limites fundamentais! Apenas precisamos tomar um cuidadinho no último termo! Vem comigo!
Passo 4
Podemos escrever nosso limite como
E, uma vez que
E uma que , podemos avaliar nosso limite como
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!