Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique!

a ) lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x + x 5 sen ⁡ 1 x 2 x 4 + 5 x 2 + 4

Passo 1

Mano, não é tão bobo de ver o que eu vou falar, mas ali eu tenho vários polinômios misturados e com um x indo para + ∞ . Parece muito com aquele caso clássico em que, para resolver rapidamente, você divide tudo pelo polinômio de maior grau (ou pelo menos me parece o mais prático para fazer):

lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x + x 5 sen ⁡ 1 x 2 x 4 + 5 x 2 + 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 4 cos ⁡ x x + x sen ⁡ 1 x x 4 2 + 5 x 2 + 4 x 4

= lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x x + x sen ⁡ 1 x 2 + 5 x 2 + 4 x 4

Ok, até aí tranquilo. Posso usar as propriedades dos limites para calcular o limite em cada um dos termos.

Passo 2

Vamos lá, começo no denominador, esse é moleza:

lim x → + ∞ ⁡ 2 + 5 x 2 + 4 x 4 = 2

Agora, o primeiro termo da parte de cima é bem característico, né? Esse pedaço aí com um cosseno sobre x sai pelo Teorema do Confronto! Se eu sei que sempre tenho cosseno entre ± 1 , eu garanto que, no infinito, o limite está apertado entre os valores dos limites de ± 1 x quando x vai ao infinito. Aí fica fácil, olha:

lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x x = lim x → + ∞ ⁡ ± 1 x = 0

Passo 3

Ok, falta matar só esse aqui para finalizar a questão:

lim x → + ∞ ⁡ x sen ⁡ 1 x

Olha se isso aqui acende a lâmpada em cima da cabeça:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 x

Basta fazer uma substituição para matar! Se eu digo que u = 1 / x , então quando x → + ∞ , eu tenho u → 0 . Reescrevendo o limite, fico assim:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ 1 x 1 x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

Esse é um daqueles chamados de limites fundamentais. Você pode calculá-lo muuuito facilmente pela Regra de L’Hospital (não sei se a essa altura do campeonato você já conhece essa regra ou não, mas fica a dica). Ele vai para 1 !

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Agora vamos juntar tudo numa conta só!

lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x x + x sen ⁡ 1 x 2 + 5 x 2 + 4 x 4 = 0 + 1 2 = 1 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 3 cos ⁡ x + x 5 sen ⁡ 1 x 2 x 4 + 5 x 2 + 4 = 1 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)