Propriedades dos Limites
Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique!
Passo 1
Mano, não é tão bobo de ver o que eu vou falar, mas ali eu tenho vários polinômios misturados e com um indo para . Parece muito com aquele caso clássico em que, para resolver rapidamente, você divide tudo pelo polinômio de maior grau (ou pelo menos me parece o mais prático para fazer):
Ok, até aí tranquilo. Posso usar as propriedades dos limites para calcular o limite em cada um dos termos.
Passo 2
Vamos lá, começo no denominador, esse é moleza:
Agora, o primeiro termo da parte de cima é bem característico, né? Esse pedaço aí com um cosseno sobre sai pelo Teorema do Confronto! Se eu sei que sempre tenho cosseno entre , eu garanto que, no infinito, o limite está apertado entre os valores dos limites de quando vai ao infinito. Aí fica fácil, olha:
Passo 3
Ok, falta matar só esse aqui para finalizar a questão:
Olha se isso aqui acende a lâmpada em cima da cabeça:
Basta fazer uma substituição para matar! Se eu digo que , então quando , eu tenho . Reescrevendo o limite, fico assim:
Esse é um daqueles chamados de limites fundamentais. Você pode calculá-lo muuuito facilmente pela Regra de L’Hospital (não sei se a essa altura do campeonato você já conhece essa regra ou não, mas fica a dica). Ele vai para !
Agora vamos juntar tudo numa conta só!