UFES, 2018.1, Lista 4, Q28
28) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Fala gente bonita, quem tá pronto pra matar outro limite?!
Temos aqui um limite que envolve função trigonométrica e também um monômio. Mas, nem tudo é o que parece. Aqui não é uma boa tentar usar o limite fundamental trigonométrico.
Isso porque o argumento do cosseno está tendendo a infinito. Então, mesmo que a gente consiga usar alguma identidade trigonométrica pra trocar o cosseno pelo seno, o seu argumento ainda vai estar tendendo pro infinito o que não se encaixa no limite fundamental trigonométrico.
Passo 2
Nesses casos, uma ótima sacada é usar o fato do seno e/ou do cosseno serem funções limitadas, para aplicar o teorema do anulamento. Relembrando rapidamente o que o teorema do anulamento diz:
Se é uma função limitada e tende a zero quando , então:
Mas antes de verificar essas hipóteses, vamos mexer um pouco no nosso limite pra que ele fique mais no formato desse teorema:
Passo 3
Massa! Sendo agora , vamos verificar as hipóteses do teorema do anulamento:
- é limitada, pois
Pronto! Como as duas hipóteses são obedecidas, concluímos que:
Assim: