UFES, 2018.1, Lista 4, Q31
31) Verifique se a função dada tem extensão contínua a toda reta .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho?
Bom, primeiramente precisamos entender o que significa essa extensão contínua que o enunciado se referiu.
Sabe quando temos uma função que o denominador zera em determinado ponto, ou que ocorre algum tipo de indeterminação? Geralmente, o que ocorre é que a função não é definida nesse ponto justamente por causa dessas indeterminações. A ideia da extensão contínua é que quando ocorrer essas descontinuidades, mas os limites laterais nesse ponto convergirem, podemos definir a função de forma diferente nesse ponto de modo a gerar uma extensão contínua para . Sacou a ideia?
Passo 2
Vamos ver de forma prática como faz isso. Temos:
Em , o denominador zera e a função não existe nesse ponto. Então, vamos analisar os limites laterais:
- , pelo limite fundamental trigonométrico temos que:
Logo, os limites laterais convergem para o mesmo valor em Isso significa que podemos gerar uma extensão contínua para em , pois definindo como:
Conseguimos tornar contínua em . Ou seja, geramos uma extensão contínua para .
Pegou a ideia? É isso.
Resposta
Sim,