- Calcule os limites abaixo, se existirem.
c.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Temos um limite para resolver e de cara eu já te conto qual o problema dele: temos um e não conseguimos calcular isso tão fácil. Por isso, a nossa solução aqui será aplicar o Teorema do confronto!
Para quem não lembra: imagine um sanduiche, então, que você quer calcular o limite de (será nosso recheio) para e você sabe que:
Ou seja, está entre e (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:
Se, por acaso, tivermos que:
Então,
No caso, nós temos que
Então precisamos escolher quem é a nossa e .
Passo 2
Então, pessoal, para definir quais serão as outras duas funções, vamos olhar para parte que nos causou o problema:
Lembra que a função seno, ela varia de até . Então temos isso aqui:
Já temos uma relação, mas ainda não chegamos lá!
Passo 3
Repara agora que para transformamos a nossa função do meio em , nós só precisamos multiplica-la por e somar . Para manter a relação valida, vamos fazer isso para cada ponta. Fica assim:
Mas, além disso, temos o termo
Opaaa! Agora sim, encontramos a nossa e . Então bora calcular esses limites!
Passo 4
Resolvendo,
E
E
Ou seja,
E
Logo,