UFSCAR – Cálculo 1 – SUB – Questão 1b
Calcule, caso exista, cada item abaixo
Passo 1
Fala galerinha, tudo bem com vocês? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Precisamos calcular esse limite aqui
Nosso instinto é sair substituindo por zero, então vamos lá
Opa! Temos uma indeterminação! E agora, como resolver um limite desses?
Mas calma! O limite tem uma propriedade muito legal que é: o limite do produto é o produto dos limites!
Então podemos resolver as indeterminações separadamente, e depois multiplicar os resultados! Mas quantas indeterminações você vê? Eu vejo TRÊS
Isso mesmo! Podemos separar esse limite no produto de três limites! Duas partes de polinômio e uma do seno!
Sempre que você vir algo com seno e embaixo tiver um polinômio, precisamos separar em parte polinomial (para ser avaliado separadamente) e a parte trigonométrica
Você lembra como resolver a parte polinomial? Assim:
- Identificar o termo dominante (maior expoente) e colocar ele em evidência
- Analisar o limite no infinito novamente, lembrando que para
Beleza?
E a outra parte? Essa aí merece um alerta... ALERTA TRUQUE SUJO
Quando tivermos algo do tipo precisamos lembrar do limite fundamental do seno
Então a ideia é manipular o limite e usar o resultado do limite fundamental!
Bora começar?
Mas relaxa, vou fazer junto com você!
Passo 2
Passo 3
Vamos analisar nosso limite com mais carinho
Podemos separar em duas partes de razão de polinômio e uma parte com o seno (já visando o limite fundamental)
Tudo bem até aqui?
Ficamos então com o produto de três limites:
Agora vamos analisar cada um desses limites!
Passo 4
Começando pelo limite bem à esquerda
Temos o limite fundamental do seno! Esse resultado já sabemos e vale !
Você também pode aplicar L’Hopital e avaliar novamente o limite:
Nossa missão agora é encontrar o limite das outras duas partes!
Passo 5
O limite central é esse aqui
Quando pela esquerda (ou seja, por valores negativos) temos
Beleza?
Estamos quase lá!
Analisando o limite da direita temos
Beleza?
Agora vamos recapitular nosso limite e juntar todos esses resultados!
Passo 6
Nosso limite era esse aqui
Dividimos em três partes:
No passo calculamos o limite mais à esquerda:
E no passo o mais à direita e do centro
:
Organizando esses resultados temos o nosso limite (lembrando que o limite do produto é o produto dos limites):
Ou seja, o limite não existe!
Show de bolinhas! Bora treinar mais?