Calcule:
Passo 1
Vamos lá! Primeira coisa que a gente vai fazer vai ser substituir x por p e ver o que que esse limite vai dar pra gente!
Para esse cara temos uma indeterminação de . E agora, o que que a gente faz então?
Pra desfazer essa indeterminação, vamos ter então que manipular as expressões do numerador e do denominador matematicamente de forma que a gente consiga desfazer a indeterminação.
Então a primeira coisa que a gente pode fazer é transformar essas secantes em expressões com cossenos:
Show de bola, agora a gente tem mais coisa pra trabalhar, beleza? Vamos continuar mexendo ai pra resolver o nosso limite!
Passo 2
Como esses cossenos do denominador não vão gerar indeterminação, então vou separá –los do limite principal:
Uma outra coisa que a gente pode fazer é pegar esse e o substituir por uma variável auxiliar , isso só no primeiro limite. Ficaria assim,
Agora com esse a gente vai ter outras relações trigonométricas pra trabalhar em cima!
Passo 3
Agora vamos abrir o segundo cosseno pela seguinte propriedade trigonométrica:
Como temos uma soma fica:
Dando uma arrumada, ele vai parecer beeem mais fácil de sair:
A gente pode separar isso como a soma de dois limites. E também, como nosso limite está calculado em , podemos colocar o que é função de pra fora do limite. A nossa expressão arrumadinha vai ficar assim então:
Passo 4
Olhando pro primeiro limite, que que a gente vai poder fazer nele? Afinal o denominador ainda está indo pra zero...
A gente pode multiplicar ele pelo seu conjugado, em cima e embaixo:
Vale lembrar que , ou seja, :
Separando temos:
Substituímos no primeiro limite o Limite Fundamental Trigonométrico, no segundo podemos apenas substituir :
Ufa, acabamos uma parte!
Agora falta resolver e resolver .
Aguenta ai que tá quase!
Passo 5
Esse outro limite também sai no Limite Fundamental Trigonométrico:
Então relembrando, a gente tinha aberto nosso limite inicial em:
Ai depois que abrimos ficamos com:
Essa primeira parte a gente já resolveu!
Agora substituindo por no limite:
Ufaaa, até que enfim, agora acabou!