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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

Calcule cada um dos limites abaixo

( a )       lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) 1 - c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Fala galerinha 😉. Nesse exercício, vamos trabalhar com limites de funções trigonométricas, realizando algumas manipulações matemáticas para contornar indeterminações.

Nesse caso, multipliquemos numerador e denominador pelo conjugado de 1 - cos ⁡ x .

Dessa forma, obteremos no denominador um produto notável da soma pela diferença.

lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) 1 - c o s ⁡ ( x ) =   lim x → 0 ⁡ ( x s e n ( x ) 1 - c o s ⁡ ( x ) × 1 + c o s ⁡ ( x ) 1 + c o s ⁡ ( x ) ) =   lim x → 0 ⁡ { x s e n x × [ 1 + cos ⁡ x ] 1 ² - c o s ² ⁡ ( x )   }

Pela identidade trigonométrica fundamental:

s e n 2 ( x ) + c o s 2 x = 1

s e n 2 ( x ) = 1 - c o s 2 x

Reescrevemos:

lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) 1 ² - c o s ² ⁡ ( x ) =   lim x → 0 { ⁡ x s e n ( x ) s e n ² ( x )   × [ 1 + cos ⁡ x ] } = lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) s e n ² ( x ) +   lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) s e n ² ( x )

= lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) +   lim ⁡ [ x → 0 ⁡ x s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) ]

Lembremos que lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) = lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x = 1 :

lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) +   lim x → 0 ⁡ x s e n ( x ) cos ⁡ x = 1 + 1 cos ⁡ 0 = 1+1 = 2

E é isso pessoal 😊

Passo 2

Resposta

a) 2

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