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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

  1. Calcule os limites abaixo:

j. lim x → 0 ⁡ 6 x - sin ⁡ 2 x 2 x + 3 sin ⁡ 4 x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 0 ⁡ 6 x - sin ⁡ 2 x 2 x + 3 sin ⁡ 4 x

Para isso, vamos aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico, que diz:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas para podermos aplicar essa igualdade, vamos precisar mexer um pouco na função!

Passo 2

Vamos começar colocando 2 x em evidência,

lim x → 0 ⁡ 6 x - sin ⁡ 2 x 2 x + 3 sin ⁡ 4 x = lim x → 0 ⁡ 2 x 3 - sin ⁡ 2 x 2 x 2 x 1 + 3 sin ⁡ 4 x 2 x

Simplificando, ficamos com

lim x → 0 ⁡ 6 x - sin ⁡ 2 x 2 x + 3 sin ⁡ 4 x = lim x → 0 ⁡ 3 - sin ⁡ 2 x 2 x 1 + 3 sin ⁡ 4 x 2 x

Repara que podemos escrever o nosso limite assim,

lim x → 0 ⁡ 6 x - sin ⁡ 2 x 2 x + 3 sin ⁡ 4 x = lim x → 0 ⁡ 3 - sin ⁡ 2 x 2 x lim x → 0 ⁡ 1 + 3 sin ⁡ 4 x 2 x

Agora vamos resolver cada limite em separado!

Passo 3

Começando pelo de cima, ficamos com

lim x → 0 ⁡ 3 - sin ⁡ 2 x 2 x = lim x → 0 ⁡ 3 - lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 x 2 x

Aplicando o limite fundamental trigonométrico, ficamos com

lim x → 0 ⁡ 3 - sin ⁡ 2 x 2 x = 3 - 1 = 2

Vamos para o próximo!

Passo 4

Agora temos que

lim x → 0 ⁡ 1 + 3 sin ⁡ 4 x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 + lim x → 0 ⁡ 3 sin ⁡ 4 x 2 x

Repara que vamos ter que dar uma mexida em lim x → 0 ⁡ 3 sin ⁡ 4 x 2 x . Vamos multiplicar por 2 em cima e embaixo:

lim x → 0 ⁡ 3 sin ⁡ 4 x 2 x = lim x → 0 ⁡ 6 sin ⁡ 4 x 4 x = 6 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x 4 x

Aplicando o limite fundamental trigonométrico, ficamos com

lim x → 0 ⁡ 1 + 3 sin ⁡ 4 x 2 x = 1 + 6 1 = 7

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

Com isso, temos que,

lim x → 0 ⁡ 6 x - sin ⁡ 2 x 2 x + 3 sin ⁡ 4 x = lim x → 0 ⁡ 3 - sin ⁡ 2 x 2 x lim x → 0 ⁡ 1 + 3 sin ⁡ 4 x 2 x

Substituindo,

lim x → 0 ⁡ 6 x - sin ⁡ 2 x 2 x + 3 sin ⁡ 4 x = 2 7

Prontinho!

Resposta

2 7

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
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