UFES, 2018.1, Lista 4, Q29
30) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Fala gente bonita! Mais um limite pra gente resolver.
Aqui temos um problema, porque na maioria das vezes quando encontramos um limite envolvendo funções trigonométricas temos basicamente dois caminhos:
- Tentar encaixar no formato do limite fundamental da trigonometria.
- Tentar usar o teorema do confronto ou o teorema do anulamento devido ao fato do seno e do cosseno serem limitados.
Mas, nesse caso nada disso dá certo. A opção 1 não funciona porque o argumento do seno está tendendo a , e era necessário que estivesse tendendo a zero. Já a opção 2 dá errado porque o termo que multiplica a função limitada (seno) não tende a zero quando .
Puts, o que fazemos agora?
Passo 2
Algo para ter em mente nesses casos é que, muitas vezes, quando praticamente não temos opção de como atacar o limite é porque na verdade trata-se de um limite indeterminado. Então bora tentar mostrar essa indeterminação.
Bom, a função seno está limitada:
Então, ao multiplicarmos ela por , vale que:
Isso significa que a nossa função da questão, está limitada entre e . Agora vem o toque final.
Quando temos que:
Logo, a nossa função está oscilando entre e , por isso, é indeterminada, não existe!
Resposta
Não existe.