UFSCAR – Cálculo 1 – SUB – Questão 1a
Calcule, caso exista, cada item abaixo
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Precisamos calcular esse limite:
Nosso instinto é sair substituindo por infinito, então vamos lá
Opa! Temos duas (uma não, DUAS) indeterminações! E agora, como resolver um limite desses?
Mas calma! O limite tem uma propriedade muito legal que é: o limite do produto é o produto dos limites! Então podemos resolver as indeterminações separadamente, e depois multiplicar os resultados!
Olhando nosso limite com mais carinho, vemos que podemos separar em um produto de uma razão de polinômios e a parte exponencial
Você lembra como resolver a parte polinomial? Assim:
- Identificar o termo dominante (maior expoente) e colocar ele em evidência
- Analisar o limite no infinito novamente, lembrando que para
Beleza?
E a outra parte? Essa aí merece um alerta... ALERTA TRUQUE SUJO
Quando tivermos algo do tipo precisamos lembrar do limite fundamental da exponencial
Então a ideia é manipular a parte exponencial para utilizar a definição do !
Bora começar?
Mas relaxa, vou fazer junto com você!
Passo 2
Passo 3
Vamos analisar a parte polinomial
O termo predominante aí é o . Então a ideia aqui é colocar em evidência tanto no denominador quanto no numerador:
Tudo bem até aqui?
Ok! Chegamos ao valor do limite da parte polinomial!
Nossa missão agora é encontrar o da parte exponencial!
Passo 4
Agora nossa missão é achar o valor desse limite aqui
Primeiramente vamos separar esse expoente em dois fatores, um elevado a e outro a , pois lembra que queremos usar o resultado do limite fundamental
Separando os fatores no nosso limite temos
Podemos usar a propriedade do limite do produto, para separar em outros dois esses limites
Estamos quase lá!
Analisando o limite da direita temos
Oba! Agora no da esquerda podemos colocar aquela potência para fora:
Tcharan! Agora usar o resultado do limite fundamental!
Prontinho! O resultado do limite da direita fica assim
Beleza?
Agora vamos recapitular nosso limite e juntar todos esses resultados!
Passo 5
Nosso limite era esse aqui
Dividimos em duas partes:
No passo calculamos o limite mais à esquerda:
E no passo o mais à direita:
Organizando esses resultados temos o nosso limite (lembrando que o limite do produto é o produto dos limites):
E é isso! Espero ter ajudado!