Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Antes de tudo, quero só dizer que essa questão não é fácil, mas vamos explicá-la com calma.
Ao substituir já vemos um belo :
Passo 2
Primeira coisa, já é usual ver um cara desses com diferença de quadrados. Vamos abrir logo, com o produto notável:
Separei o do resto pois ele vai convergir para um valor. Substituindo ele:
Agora podemos nos concentrar no que sobrou:
Passo 3
Vai parecer meio aleatório (e é mesmo...), mas eu vou fazer uma substituição com o termo do denominador. Eu não tenho muito o que fazer, então vou pegar o cara que se destaca e substituí-lo por :
Com isso, teremos:
Passo 4
Eu sei que não parece ter melhorado muito, mas existe uma propriedade para o seno de uma diferença de ângulos, essa aqui:
Se eu fizer essa com o seno ali de cima, terei:
Temos que e . Logo,
Voltando no limite, olha que beleza:
Passo 5
Multiplicando em cima e embaixo por , teremos, fazendo uma segunda substituição de , com :
Apareceu o Limite Fundamental Trigonométrico. Substituindo-o:
Certo, com isso o resultado final fica: