UFES, 2018.1, Lista 4, Q33
33) Verifique se a função dada tem extensão contínua a toda reta .
Passo 1
Eaí pessoal, bora destruir essa questão?!
Bom, primeiramente precisamos entender o que significa essa extensão contínua que o enunciado se referiu.
Sabe quando temos uma função que o denominador zera em determinado ponto, ou que ocorre algum tipo de indeterminação? Geralmente, o que ocorre é que a função não é definida nesse ponto justamente por causa dessas indeterminações. A ideia da extensão contínua é que quando ocorrer essas descontinuidades, mas os limites laterais nesse ponto convergirem, podemos definir a função de forma diferente nesse ponto de modo a gerar uma extensão contínua para . Sacou a ideia?
Passo 2
Então agora, o que precisamos fazer é justamente descobrir em que valores de ocorrem essas indeterminações. No caso de , ela deverá ocorrer onde o denominador se tornar igual a zero. Daí:
Isso significa que se , temos uma indeterminação em lhe causando descontinuidade. Precisamos agora verificar se os limites laterais de em convergem para o mesmo valor.
- (basta usar o mesmo raciocínio feito acima).
Passo 3
Ótimo! Como os limites laterais em convergem para o mesmo valor, podemos sim gerar a extensão contínua de .
Passo 4
Resposta
Sim,