1b) Determine se existem ou não os seguintes limites. Em caso afirmativo, calcule o seu valor. (Justifique!)(NÃO é permitido uso da regra de L’Hôspital)
Passo 1
Vamos lá. Pra começar, a primeira coisa que a gente tem que fazer quando vê um limite é substituir pra ver o que dá. Então partiu:
Eita! Indeterminação! Mas calma, tem uma coisa muito interessante que a gente pode fazer pra se livrar dela. Lembra dessa identidade trigonométrica?:
Vamos tentar fazer ela aparecer no limite. Pra isso, multiplicamos em cima e em baixo pelo conjugado do denominador:
E olha só! Não é que apareceu! O denominador eu consigo transformar em usando a identidade trigonométrica. Nosso limite vai ficar:
Agora a gente tenta de novo substituir:
Puts, de novo? Não tem jeito, vamos ter que mexer mais um pouquinho no limite.
Passo 2
Olha, fica tranquilo que mesmo não tendo resolvido de primeira, da pra gente resolver esse limite. Uma coisa que podemos fazer é tentar destacar dele o limite fundamental trigonométrico. Saca só essas manipulações:
E das propriedades dos limites:
Aí sim! Limite fundamental trigonométrico apareceu! Fazendo as contas então vamos ter: