UFSC – Cálculo 1 – Lista 1.10 – Questão C2e
Calcule os limites abaixo
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Precisamos calcular esse limite aqui
Nosso instinto é substituir por e sair calculando, certo? Ok, então vamos lá:
Poxa, vida! Encontramos uma indeterminação! Isso só pode significar uma coisa: manipulação!
Beleza até aqui? A ideia é manipular essa expressão para que sejamos capazes de associar, pelo menos um pedaço desse limite, com algum limite fundamental. Mas você lembra quais são eles?
Esse ai você precisa saber! Já anota!
Então a ideia é usar essas informações para manipular e calcular o nosso limite! Bora lá?
Mas relaxa!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Nosso limite é esse aqui
Lembrando do limite fundamental do seno, temos o seguinte
Então é interessante termos separado o seno... e é isso que vamos fazer! Separar em dois limites! Lembrando que o limite da soma é a soma dos limites
Beleza? Agora vamos calcular esses dois limites separadamente!
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos calcular o primeiro limite:
Podemos colocar o em evidência em cima e o embaixo:
Vamos guardar esse resultado!
Passo 4
Agora vamos calcular o segundo!
A ideia é manipular até chegarmos próximo do limite fundamental do seno:
Então vamos primeiro colocar em evidência o no denominador novamente
E o que falta? Um 4! Isso mesmo! Vamos multiplicar e dividir tudo por !
E agora? Sabendo que o limite do produto é o produto dos limites:
Aí esse segundo limite fica assim
Beleza? Agora vamos juntar todos esses resultados!
Passo 5
Nosso limite originalmente era
Dividimos em dois
O primeiro calculamos no passo 3:
O segundo no passo 4:
Agora é só juntar tudo:
E taí nosso resultado!
Beleza?
Espero ter ajudado!