Calcule o limite ou justifique porque não existe:

c ) lim x → 2 ⁡ tg 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ 1 x - 2 x - 2

Passo 1

Ok, depois de substituir o limite e reparar que ele gera indeterminação, temos que dar alguma sacada para resolvê-lo. Olha, duas coisas que me parecem interessantes nesse caso: abrir a tangente e substituir esse x - 2 por uma outra variável mais simples:

lim x → 2 ⁡ tg 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ 1 x - 2 x - 2

= lim x → 2 ⁡ sen 2 ⁡ ( x - 2 ) sen ⁡ 1 x - 2 cos 2 ⁡ x - 2 ( x - 2 )

u = x - 2 ;   x → 2 , u → 0

lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ ( u ) sen ⁡ 1 u cos 2 ⁡ u ( u )

Primeiro, o termo do cosseno pode ir embora, afinal, temos que:

lim u → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ u = 1 1 2 = 1

Já o sen ⁡ 1 u ficaria numa indefinição sobre seu valor. Agora, temos que será necessariamente um valor entre 1 e - 1 , certo? Assim, o limite

L = lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ ( u ) sen ⁡ 1 u cos 2 ⁡ u ( u )

Está entre

lim u → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ ( u ) ( u ) ≤ L ≤ lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ ( u ) ( u )

Acontece que esses limites geram uma indeterminação. Podemos sair dela por limite fundamental também:

lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ u u = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u ⋅ sen ⁡ ( u ) = 1 ⋅ 0 = 0

Portanto, temos que:

lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ ( u ) sen ⁡ 1 u cos 2 ⁡ u ( u ) = 0

Resposta

lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ ( u ) sen ⁡ 1 u cos 2 ⁡ u ( u ) = 0

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)