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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x 2 - 1

Passo 1

Primeiramente, substituímos o valor de x para avaliar o que está acontecendo com o limite.

sin ⁡ x - 1 x 2 - 1 ⟹ sin ⁡ 1 - 1 1 - 1 = sin ⁡ 0 0 ⟹ 0 0

Dado que temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , podemos partir para utilizar L’Hospital.

Passo 2

Pra resolver esse limite, temos que ter a sagacidade de lembrar que:

x 2 - 1 = x - 1 x + 1

E ai, substituindo no nosso limite, temos:

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x - 1 x + 1 = lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x - 1 ∙ lim x → 1 ⁡ 1 x + 1

E olha só! O limite fundamental trigonométrico apareceu ali Porque se pegarmos o primeiro limite e substituirmos, por exemplo:

u = x - 1

x → 1           →                   u → 0

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x - 1 = lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

E ai sobra pra gente:

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ 1 x + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x 2 - 1 = 1 2

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