Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x     tan ⁡ 2 x tan ⁡ 4 x tan ⁡ 6 x

Passo 1

Vamos começar abrindo a tangente em seno e cosseno: lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x tan ⁡ 2 x tan ⁡ 4 x tan ⁡ 6 x =   l i m x → 0 sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x ⋅ cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x ⋅ cos ⁡ 4 x sen ⁡ 4 x ⋅ cos ⁡ 6 x sen ⁡ 6 x  

= l i m x → 0 sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x ⋅ 1 sen ⁡ 2 x ⋅ 1 sen ⁡ 4 x ⋅ 1 sen ⁡ 6 x   ⋅ cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x

Passo 2

Temos 3 senos no numerador e denominador, podemos multiplicar e dividir tudo por x 3 para tentar chegar no limite fundamental trigonométrico:

l i m x → 0 sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x ⋅ 1 sen ⁡ 2 x ⋅ 1 sen ⁡ 4 x ⋅ 1 sen ⁡ 6 x   ⋅ cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x ⋅ x 3 x 3

= l i m x → 0 sen ⁡ x x ⋅ sen ⁡ 3 x x ⋅ sen ⁡ 5 x x ⋅ x sen ⁡ 2 x ⋅ x sen ⁡ 4 x ⋅ x sen ⁡ 6 x   ⋅ cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x

Passo 3

Podemos agora usar as propriedades do produto dos limites e separar tudo:

… = l i m x → 0 sen ⁡ x x ⋅ l i m x → 0 sen ⁡ 3 x x ⋅ l i m x → 0 sen ⁡ 5 x x ⋅ l i m x → 0 x sen ⁡ 2 x ⋅ l i m x → 0 x sen ⁡ 4 x ⋅ l i m x → 0 x sen ⁡ 6 x   ⋅ lim x → 0  cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x

Temos que, pelo limite fundamental: l i m x → 0 sen ⁡ x x = 1

Para o segundo, podemos fazer a substituição u = 3 x , resultado em x = u / 3 e:

l i m x → 0 sen ⁡ 3 x x = 3 ⋅ l i m u → 0 sen ⁡ u u = 3

Da mesma maneira, com u = 5 x , temos:

l i m x → 0 sen ⁡ 5 x x = 5 ⋅ l i m u → 0 sen ⁡ u u = 5

Para os limites que estão invertidos, não tem problema, podemos escrever como: l i m x → 0 x sen ⁡ 2 x = l i m x → 0 1 x sen ⁡ 2 x = 1 l i m x → 0 sen ⁡ 2 x x = 1 / 2

Da mesma forma: l i m x → 0 x sen ⁡ 4 x = 1 4

l i m x → 0 x sen ⁡ 6 x = 1 6

E também, como não há indeterminação:

lim x → 0  cos ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ 6 x = cos ⁡ 0 cos ⁡ 0 cos ⁡ 0 = 1

Ou seja, o limite será: lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x     tan ⁡ 2 x tan ⁡ 4 x tan ⁡ 6 x = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 1 2 ⋅ 1 4 ⋅ 1 6 ⋅ 1 = 15 48 = 5 16

Ufa!

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 5 x     tan ⁡ 2 x tan ⁡ 4 x tan ⁡ 6 x = 5 16

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)