Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

Ver Teoria
Exercício 951234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939496979899100

Enunciado

IME, Álgebra Linear 1, 2020, VC, Q1B

Determine:

  1. lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 arccos ⁡ x 2 x 2 + 1

  2. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2  

Passo 1

Faaala galerota, o truque do conjugado cai muito bem aqui, mas no geral vamos tentar encontrar limite fundamentais por meio de algebrismos XD.

L = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2  

Repare que:

a 15 - b 15 = a - b ∑ i = 0 14 a 14 - i b i  

Logo, a fim de completar a diferença do limite, façamos:

L = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2 ⋅ ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i =

= lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 15 - cos ⁡ x 3 15 x 2 ⋅ 1 ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i =

= lim x → 0 ⁡ cos 3 ⁡ x - cos 5 ⁡ x x 2 ⋅ 1 ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i =

= lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x 2 ⋅ cos 3 ⁡ x ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i =

= lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ⋅ l i m x → 0 cos 3 ⁡ x ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i       ( p r o d . )

Passo 2

Uma vez que x 2 é uma função contínua, podemos passar o limite para dentro de seu argumento de modo que:

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 = 1 2 = 1               ( l i m .   f u n d . )

E ainda:

l i m x → 0 cos 3 ⁡ x ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i = 1 3 ∑ i = 0 14 1 14 - i 1 ^ i = 1 15

De forma que o limite seja dado por:

L = lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ⋅ l i m x → 0 cos 3 ⁡ x ∑ i = 0 14 cos ⁡ x 5 14 - i cos ⁡ x 3 i

= 1 ⋅ 1 15 =

= 1 15

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 5 - cos ⁡ x 3 x 2 = 1 15

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)