1b) Calcule:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 4 x - x 2

Passo 1

Bora lá, esse limite parece complicado mas a gente tira de letra. A primeira coisa que a gente faz sempre que vemos um limite é substituir e ver o que acontece. Então partiu:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 4 x - x 2 = sin ⁡ 0 0 - 0 = 0 0

Xii, indeterminação. Não tem jeito, não podemos responder assim! Temos que tentar uma outra estratégia pra responder a questão!

Passo 2

Bem, já que substituímos e não rolou, vamos tentar resolver de outro jeito. Pra começar, lembra do limite fundamental trigonométrico?

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Será que dá pra encaixar ele dentro do limite do enunciado? Afinal, temos um seno ali! Olha, te dizer que dá sim, mas vamos ter que colocar um termo 3 x no denominador. Saca só:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 4 x - x 2 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 3 x 4 3 - x 3 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 3 x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 4 3 - x 3 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 3 x ∙ lim x → 0 ⁡ 3 4 - x

E olha só, não é que o limite fundamental trigonométrico apareceu? Seja:

u = 3 x

s e   x → 0     e n t ã o     u → 0

Podemos reescrever o limite do enunciado para:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 4 x - x 2 = lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim x → 0 ⁡ 3 4 - x

Agora é só resolver, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 4 x - x 2 = 1 ∙ 3 4 - 0 = 3 4

Resposta

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 4 x - x 2 = 3 4

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)