Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de l'Hospital):

b) lim (u -> 0) (sen(3u) / (6u))

Passo 1

Para calcular o limite l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) 6 u sem usar a regra de l'Hôpital, podemos usar uma propriedade importante dos limites que envolvem a função seno. Essa propriedade afirma que l i m x → 0   s i n ⁡ ( x ) x = 1 .Vamos aplicar essa propriedade ao nosso limite original:

l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) 6 u = 1 6 l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) u

l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) 6 u = 1 6 * 3 l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) 3 u

l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) 6 u = 1 / 2   l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) 3 u

Passo 2

Aqui, usamos 3 u no denominador para garantir que estejamos usando a mesma forma que a propriedade nos diz. Agora, aplicando a propriedade:

1 2 l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) 3 u = 1 2 ⋅ 1 = 1 2

Resposta

P o r t a n t o ,   o   l i m i t e   l i m u → 0   s i n ⁡ ( 3 u ) 6 u   é   i g u a l   a   1 2 ,   s e m   a   n e c e s s i d a d e   d e   u s a r   a   r e g r a   d e   l ' H ô p i t a l .

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