5. Calcule
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Dê cara quando olhamos para essa questão percebemos que calcular esse limite não será muito trivial, né? Mas vamos com calma, dar uma mexida na cara dessa função para deixar ela com uma cara mais fácil de se resolver.
Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas, ok? Bora lá!
Passo 2
Nós temos a seguinte função
Repara que temos uma subtração de senos, então vamos usar essa relação aqui:
Fazendo a correlação com a nossa função temos que e . Agora vamos substituir!
Fica assim,
Parece que ficou pior, mas agora temos um produto de seno e cosseno. É interessante ter um produto de senos e cossenos, em vez se uma subtração, porque, no limite, podemos reescrever assim:
Agora vamos calcular cada limite!
Passo 3
Olhando para o limite do seno, a gente pode tentar escrever essa função visando utilizar o limite fundamental trigonométrico.
Para quem não lembrar o Limite Fundamental Trigonométrico diz que
No caso, temos que . Então podemos multiplicar por no numerador e denominador. Fica assim,
Usando o limite fundamental trigonmétrico temos que
Pronto! Agora vamos olhar para a função completa, que inclui o cosseno!
Passo 4
Ajeitando tudo que já calculamos ficamos com
Como todo número multiplicado por zero é zero e a função cosseno varia entre , temos que
Mas como, temos no denominador dentro da função cosseno, temos que dizer que a função é limitada para .