Calcule os limites abaixo

i )   lim x → 3 π / 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

A ideia é calcular esse limite aqui

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

Mas calma! Antes vamos relembrar de todos os limites fundamentais que estudamos, assim podemos identificar qual deles o nosso limite mais se aproxima

Estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:

E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas!

Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para nosso limite

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

E lembrar do primeiro limite fundamental daquele quadro em azul do passo anterior

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Temos algo parecido, não é? Precisamos manipular um pouquinho para encontrar um resultado bem parecido com nosso limite fundamental...

Passo 3

A ideia agora é #manipulação

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x

Agora a gente vai usar o truque sujo (nada sujo, é um truquinho superlegal de se fazer e funciona para muitas coisas!) de chamar

cos ⁡ x = 1 u

Assim fazendo essa substituição vamos ter exatamente o formato do limite fundamental. Com essa substituição temos também que

cos ⁡ x = 1 u → u = 1 cos ⁡ x

E também quando x → 3 π 2

lim x → 3 π 2 ⁡ u = lim x → 3 π 2 ⁡ 1 cos ⁡ x = ∞

Aí nosso limite fica assim

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u ⏝ = e = e

E taí nosso resultado!

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x = e

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

e

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)