Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

Ver Teoria
Exercício 201234567891011121314151617181921222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

IME, Cálculo 1, 2017, VE1, Q1B

Calcule ou mostre que não existe. (Não use qualquer artifício que envolva derivação).

  1. lim x → 0 ⁡ 2 1 x - 1 2 1 x + 1

  2. lim x → 0 ⁡ 1 - cosh 2 ⁡ x x 2 arccos ⁡ ( sinh ⁡ x )

Passo 1

Faaala, pessoal! Vamos atrás de colocar nossos limites em função de limites fundamentais. A relação fundamental dos arcos hiperbólicos é dada por:

cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1

Dessa forma, tome

L = lim x → 0 ⁡ 1 - cosh 2 ⁡ x x 2 arccos ⁡ sinh ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - sinh 2 ⁡ x x 2 arccos ⁡ sinh ⁡ x =

= lim x → 0 ⁡ - sinh 2 ⁡ x x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 arccos ⁡ sinh ⁡ x =           ( p r o d . )

= lim x → 0 ⁡ - e x - e - x 2 2 x 2 ⋅ 1 arccos ⁡ sinh ⁡ 0 =

= lim x → 0 ⁡ e x - e - x x 2 ⋅ - 1 4 arccos ⁡ 0 =

= - 2 4 π l i m x → 0 e x - e - x x 2 = - 1 2 π L 1 2

Onde na última linha usamos que x 2 é uma função contínua. Para calcular este último, tome a = e 2 x - 1 , tal que ln ⁡ a + 1 = 2 x , logo x = ln ⁡ a + 1 / 2 . Assim:

L 1 = l i m x → 0 e x - e - x x = l i m x → 0 e 2 x - 1 x e - x =

= l i m x → 0 e - x ⋅ lim a → 0 ⁡ 2 a ln ⁡ a + 1 =

= 2 e - 0   ⋅ lim a → 0 ⁡ 1 ln ⁡ 1 + a 1 a =

= 2 ⋅ ln ⁡ lim a → 0 ⁡ 1 + a 1 a - 1             ( l i m .   f u n d . )

Onde utilizamos a continuidade de 1 / ln ⁡ x no intervalo de interesse tal que:

L 1 = 2 ln ⁡ e = 2

Assim, o limite original

L = - 1 2 π L 1 2 = - 4 2 π ⇒ L = - 2 π

Resposta

- 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)