UFES, 2018.1, Lista 4, Q25
25) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Eaí povo, muitas ideias pra matar esse limite?
Primeiramente, temos que testar na expressão. Mas vamos encontrar uma indeterminação matemática, então temos que pensar mais um pouquinho.
Bom, temos então um quociente envolvendo funções trigonométricas no numerador e um monômio no denominador. Isso lembra um pouco o limite fundamental trigonométrico, certo? O problema é conseguir fazer esse numerador se encaixar no formato correto.
Uma ideia inicial é procurar alguma identidade trigonométrica pra conseguir tirar esses termos de dentro da raiz, mas não encontramos nenhuma identidade que dê pra fazer isso. Vamos ter que pensar um pouco mais então!
Passo 2
Tem uma sacada bem legal que podemos usar. Lembra daquele produto notável da diferença de quadrados? Ele era assim:
Mas o que isso tem a ver com o nosso limite, né? Bom, é que uma boa opção pra tentar retirar essas raízes indesejadas é usar esse produto notável pra conseguir ter os dois termos elevados ao quadrado e assim sumir a raiz. Bora fazer então:
Usando o produto notável da diferença de quadrados, a gente vai ficar com:
“Pô, mas então só mudamos o problema de lugar? Ao invés das raízes aparecem no numerador estão aparecendo no denominador, certo?”
Sim e não. Nós mudamos o problema de lugar, mas no denominador (pensando na aplicação do limite), ele nem é um problema porque quando essa expressão é determinada e vale . Viu que legal?
Passo 3
Vamos dar uma melhorada na nossa expressão, pois lembra que ainda estamos tentando fazer aparecer o limite fundamental trigonométrico.
Po, se a gente olhar com calma pra essa expressão pensando que vamos aplicar o limite em quando , dá pra perceber que é tranquilo de calcular e deve dar
O problema é o outro termo, que vamos chamar de a partir de agora.
Esse cara ainda tá indeterminado quando .
Calma! Agora que chegamos até aqui não podemos desistir!
Passo 4
Bora mexer exclusivamente em até dar certo. O objetivo vai ser encaixar no limite fundamental trigonométrico. FÉ galera!
Mas lembra que:
Beleza, substituindo em , temos:
Agora vamos ter que usar um truque realmente truquento rs:
Passo 5
Pensa comigo, pra conseguirmos encaixar isso no limite fundamental, como no denominador temos , deve existir no numerador algo como o produto de três senos, pra gente separar um seno pra cada . Então, é hora de usar as transformações de soma em produto. Bora dar uma relembrada nessas fórmulas:
Usando a diferença de senos, temos que:
Substituindo esse resultado em , vamos ter que:
Mas, pela fórmula do seno do arco duplo, também podemos escrever que:
Substituindo em :
Gente, estamos quase lá!! Já apareceu o primeiro seno no numerador, e agora se usarmos a fórmula da diferença de cossenos, vamos conseguir deixar no formatinho do limite fundamental trigonométrico. Bora lá!
Como o seno é uma função ímpar, podemos reescrever tudo como sendo:
Aeeee, muito bom!!! Temos três senos se multiplicando no numerador, um para cada .
Passo 6
Agora podemos voltar em , substituindo por essa nova expressão encontrada:
Parece tá feio, mas na verdade está lindo. Pra ficar bem a cara do limite fundamental trigonométrico, vamos dar a tacada final:
Passo 7
FINALMENTE! Podemos aplicar o limite em , porque já tá tudo perfeitamente arranjado:
RECEBA! GrazaDeus Pai! O Responde Aí é o melhor do mundo!