UFES, 2018.1, Lista 5, Q12
12) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Fala galerinha!
Como sempre fazemos, o primeiro passo é substituir no limite e ver o que acontece:
É pessoal, não tem vida fácil pra gente. Deu indeterminação matemática.
Mas bora se animar que esse vai ser rápido.
Passo 2
Nessa questão temos algo que é a cara do limite trigonométrico, exceto por esse . Algo que podemos fazer é usar o produto notável da diferença de quadrados, lembram?
Pronto, vamos usar isso então:
Ok. Substituindo na expressão do limite temos que:
Mesmo que não pareça isso nos ajuda. Porque agora sabemos que o denominador só zera por causa desse . A ideia então é usar o limite fundamental trigonométrico. O problema é que pra usá-llo, precisamos que o argumento do seno seja igual ao numerador, mas isso não acontece.
Nesse tipo de situação a gente quase sempre mexe no denominador pra fazê-lo ficar igual ao argumento, mas aqui vamos fazer o contrário.
Queremos que apareça o . Então, vamos analisar esse cara:
Como e , temos que:
Que toop! Quem diria hein? Substituindo então, temos que:
Passo 3
Pronto, agora é só a gente aplicar o limite e usar a relação fundamental da trigonometria.
Perfeito!!