b) Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Vamos lá. Como o primeiro passo na hora de calcular um limite é checar o que acontece se a gente substituir, partiu então. Substituindo, vamos ter:
Opa, temos ai uma identerminação! Não pode! Vamos tentar reescrever então esse limite pra sumir com ela!
Passo 2
Como a função tem termos da trigonometria e uma potência de , vamos tentar dar uma mechida aí pra poder escrever o limite fundamental trigonométrico, beleza? Isso porque sabemos que:
Pra começar, vamos tirar a tangente daí, transformando ela em seno sobre cosseno:
Ok, até ai nada mudou muito. Vamos buscar uma estratégia interessante aqui: colocar o termo de no denominador. Isso vai ajudar a gente porque e se a gente quer que a indeterminação pare de acontecer, temos que ter um denominador que não zere! Vamos lá então:
Ainda ta zerando por causa do ali. Vamos tentar isolar esse então. Pra isso, vamos multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado de . Saca só:
Olha que sagaz, da relação trigonométrica mãe de todas, tiramos:
O nosso limite fica então:
E agora sim a gente consegue isolar o . Usando propriedade dos limites, temos que:
Agora é só substituir. O primeiro limite nada mais é do que o cubo do limite fundamental trigonométrico, logo:
E o segundo limite não zera mais o denominador, logo:
Por fim, o limite vai ser então: