UFES, 2018.1, Lista 4, Q24
24) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Eaí pessoal, como vocês estão? Bora matar mais uma questão?!
Primeiramente, temos que testar na expressão. Mas vamos encontrar uma indeterminação matemática, então temos que pensar mais um pouquinho.
Bom, temos então que calcular um limite que envolve senos e tangentes. Sempre que aparecem funções trigonométricas é uma boa a gente ver se não dá pra encaixar o limite fundamental trigonométrico. Então, bora abrir essas tangentes pra criar uma expressão que dá pra separar a parte que envolve cossenos e senos:
Agora, vamos separar a expressão como produto de senos e cossenos:
Ótimo!!
Passo 2
Basicamente, temos o produto de duas expressões. O legal de ter separado assim é que o limite quando não dá nenhum problema ou indeterminação para os cossenos, ou seja, se a gente conseguir fazer a parte dos senos virar um grande limite fundamental trigonométrico, já matamos a questão.
E como é que fazemos isso? Pensando no , por exemplo, basta fazermos:
Fazendo o mesmo procedimento para os outros senos da nossa expressão, vamos ter que:
Cancelando o que aparece no numerador e no denominador, finalmente chegamos a:
Passo 3
Passo 4
Opaa, conseguimos chegar na expressão que a gente queria. Porque temos um produto de cossenos, que não tem problema aplicar o limite, e um quociente de senos, mas que estão encaixados em vários limites fundamentais. Daí, aplicando o limite em , vem que:
Agora, como esses limites existem separadamente e são finitos, vamos separá-los em produtos:
Prontinho, morreu mais um limite!