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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

Calcule

lim x → 0 ⁡ 2 x ³ ( x 3 + 1 + x 2 - 1 ) 3 x 2 sen ⁡ x ³

Passo 1

Sempre começamos a resolver um limite tentando substituir o valor na função, então vamos nessa.

lim x → 0 ⁡ 2 x ³ ( x 3 + 1 + x 2 - 1 ) 3 x 2 sen ⁡ x ³ = 2 . 0 ³ ( 0 3 + 1 + 0 2 - 1 ) 3 . 0 2 sen ⁡ 0 ³ = 0 0

Af! Caímos em uma indeterminação. Mas relaxa, vamos tentar resolver de outro jeito para achar o resultado.

Passo 2

Podemos começar separando a fração x 3 sen ⁡ x ³ para posteriormente usarmos o limite fundamental trigonométrico. Também podemos separar a fração 2 3 porque assim nossos cálculos ficam mais fáceis e claros.

lim x → 0 ⁡ 2 3 . x 3 sin ⁡ x 3 . ( x 3 + 1 + x 2 - 1 ) x ²

Passo 3

Agora vamos por partes. Primeiro vamos olhar pra fração mais feia, a que parece mais complicada, que é a x 3 + 1 + x 2 - 1 x 2 . Podemos usar a técnica do conjugado com ela, olha só:

lim x → 0 ⁡ 2 3 . x 3 sin ⁡ x 3 . x 3 + 1 + x 2 - 1 x 2 . ( x 3 + 1 + x 2 + 1 ) ( x 3 + 1 + x 2 + 1 )

lim x → 0 ⁡ 2 3 . x 3 sin ⁡ x 3 . x 3 + 1 + x 2 - 1 x ² x 3 + 1 + x 2 + 1

lim x → 0 2 3 . x 3 sin ⁡ x 3 ⁡ . x 3 + x 2 x 2 x 3 + 1 + x 2 + 1

Passo 4

Para simplificar, cortamos o x ² de cima com o de baixo:

lim x → 0 2 3 . x 3 sin ⁡ x 3 ⁡ . x 2 ( x + 1 ) x 2 x 3 + 1 + x 2 + 1

lim x → 0 2 3 . x 3 sin ⁡ x 3 ⁡ . x + 1 x 3 + 1 + x 2 + 1

Passo 5

Agora aplicamos o limite fundamental trigonométrico em x 3 sin ⁡ x 3 .

lim x → 0 2 3 . 1 ⁡ . x + 1 x 3 + 1 + x 2 + 1

Passo 6

E finalmente podemos substituir x por 0 na expressão do limite

lim x → 0 2 3 . 1 ⁡ . x + 1 x 3 + 1 + x 2 + 1 = 2 3 . 0 + 1 0 3 + 1 + 0 2 + 1 = 2 3 . 1 2 = 1 3

Resposta

1 3

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