Calcule o limite abaixo

li_m(x→0) = (1 - cos(x)) / x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez precisamos calcular um limite, mas essa questão é especial, pois iremos usar um limite fundamental trigonométrico. Lembram dele?

O limite é tal que

l i m x → 0 s i n ( x ) x = 1

Vamos usar isso para calcular

l i m x → 0 1 - c o s ( x ) x

Passo 2

Queremos calcular,

l i m x → 0 1 - c o s ( x ) x

Mas só sabemos o limite fundamental

l i m x → 0 s i n ( x ) x = 1

Como fazemos? Ora, vamos fazer aparecer um seno no nosso limite, e para isso vamos usar a famosa fórmula

s i n 2 + c o s 2 = 1

Então, multiplicando e dividindo por 1 + c o s ( x ) temos:

Simplificando, temos

l i m x → 0 1 - c o s ( x ) x = l i m x → 0 1 - c o s ( x ) x 1 + c o s ( x ) 1 + c o s ( x )

l i m x → 0 1 - c o s 2 ( x ) x ( 1 + c o s ( x ) )

Usando a relação que revisamos

l i m x → 0 s i n 2 ( x ) x ( 1 + c o s ( x ) )

Agora, vamos usar a linearidade do limite para o produto. Temos

l i m x → 0 s i n ( x ) ( 1 + c o s ( x ) ) l i m x → 0 s i n ( x ) x

Mas esses limites são mais tranquilos de calcular, o segundo é o nosso limite fundamental, e o primeiro é igual a 0 , pois s i n ( 0 ) = 0 .E com isso, chegamos a conclusão que

l i m x → 0 1 - c o s ( x ) x = 0

Bacana, né?

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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