Calcule o limite abaixo

l_i(m_{x→0}) = (x + x * cos(x)) / (sen(x) * cos(x))

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez precisamos calcular um limite, mas essa questão é especial, pois iremos usar um limite fundamental trigonométrico. Lembram dele?

O limite é tal que

l i m x → 0 s i n ( x ) x = 1

Vamos usar isso para calcular

l i m x → 0 x + x c o s ( x ) s i n ( x ) c o s ( x )

Passo 2

Queremos calcular,

l i m x → 0 x + x c o s ( x ) s i n ( x ) c o s ( x )

Mas só sabemos o limite fundamental

l i m x → 0 s i n ( x ) x = 1

Separando a nossa fração, temos:

l i m x → 0 x + x c o s ( x ) s i n ( x ) c o s ( x ) = l i m x → 0 x s i n ( x ) c o s ( x ) + l i m x → 0 x s i n ( x )

Aqui, nosso limite fundamental aparece duas vezes. A primeira em

l i m x → 0 x s i n ( x ) c o s ( x )

E a segunda em

l i m x → 0 x s i n ( x )

O segundo limite já sabemos que será 1 , pois é o limite fundamental que revisamos.

Vamos revisar o primeiro limite. Ele pode ser reescrito como

l i m x → 0 x s i n ( x ) c o s ( x ) = l i m x → 0 1 s i n ( x ) x 1 c o s ( x )

Usando a linearidade do limite e o limite fundamental descobrimos que

l i m x → 0 x s i n ( x ) c o s ( x ) = 1

Logo temos que

l i m x → 0 x + x c o s ( x ) s i n ( x ) c o s ( x ) = l i m x → 0 x s i n ( x ) c o s ( x ) + l i m x → 0 x s i n ( x )

= 2

Bacana, né?

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

2

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