Calcule o limite abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Quando a gente olha pra esse limite a gente já se assusta, não é mesmo? Mas caaaalma que vai dar tudo certo. A primeira coisa a se fazer é olhar bem pra essa função maluca:
Saca só, nessa função temos termos e . A primeira coisa a se notar é que:
É um limite que não existe, porque isso daria , o que não é possível em uma função oscilatória. Então, da propriedade do limite:
Vamos tentar inicialmente olhar só pro primeiro limite e ver o que a gente descobre sobre ele beleza? Partiu calcular então:
Passo 2
Pra calcular esse limite a gente vai ter que dar uma manipulada. Porque? Porque se conseguirmos escrever ele como algo parecido ao limite fundamental trigonométrico:
Ai sim resolvemos o problema! Então vamos lá. A primeira coisa que a gente tem que notar é que em:
Não tem senos! Então bora arranjar senos. Da relação trigonométrica mãe:
Tiramos:
O que ainda não é exatamente o que tá escrito no nosso limite, mas veja bem, se a gente multiplicar pelo conjugado, olha como fica:
Agora sim dá bom! Substituindo então:
Agora que apareceu o seno, vamos ver o quão diferente ele está do limite fundamental: o seno está ao quadrado e o no seu interior também. Pra ter mais a cara do limite fundamental trigonométrico, vamos então multiplicar em cima e em baixo por , beleza? Saca só:
E vamos separar esse produto feio de funções em menores pra gente se entender melhor. Dá uma olhada:
Agora, calculando cada um dos limites menores, temos o primeiro
Que nada mais é do que o limite fundamental trigonométrico disfarçado e os outros vão ser:
O limite no final das contas fica:
Passo 3
Pra gente fechar e partir pro abraço, vamos lembrar do enunciado e do passo :
Como:
Apesar do limite:
Não existir, a resposta do enunciado vai ser então:
Podemos garantir esse resultado se a gente aplicar o teorema do confronto, olha só: