Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 - s e c ( x ) x ²    

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer ao achar um limite é substituir o valor do ponto na função

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x 2   = 1 - sec ⁡ 0 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0  

Então, temos uma indeterminação e precisamos mexer um pouco no limite.

Passo 2

Sempre que você ver uma secante sobre um x , x 2 e afins, desconfia do limite fundamental trigonométrico! Aquele que diz que

lim x → a ⁡ s e n … … = 1

Pô, mas ali não tem seno nenhum! O que vamos fazer é multiplicar em cima e embaixo por 1 + sec ⁡ x e usar a relação 1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ x . Vem comigo:

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x 2   = lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x 2 ⋅ 1 + sec ⁡ x 1 + sec ⁡ x   = lim x → 0 ⁡ 1 - sec 2 ⁡ x x 2 ( 1 + s ec ⁡ x )   = lim x → 0 ⁡ - t g 2 x x 2 ( 1 + sec ⁡ x )  

Passo 3

Legal o seno ainda não apareceu. Vamos abrir aquela tangente ali

lim x → 0 ⁡ - t g 2 x x 2 ( 1 + sec ⁡ x )   = - lim x → 0 ⁡ 1 x 2 ( 1 + sec ⁡ x ) ⋅ s e n 2 x cos 2 ⁡ x   = - lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x 2 ( 1 + sec ⁡ x ) cos 2 ⁡ x  

Mas se liga que ali ele está ao quadrado e no limite fundamental não tem nada ao quadrado! Olha a malandragem que eu vou fazer

lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x 2 ( 1 + sec ⁡ x ) cos 2 ⁡ x   = lim x → 0 ⁡ s e n   x x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 1 + sec ⁡ x cos 2 ⁡ x

O limite mais a direita é tranquilo de resolver. Basta substituir 0 na expressão:

lim x → 0 ⁡ 1 ( 1 + sec ⁡ x ) cos 2 ⁡ x = 1 1 + 1 ⋅ 1 = 1 2

Passo 4

O da esquerda é o próprio limite fundamental elevado ao quadrado! Então vamos ter o seguinte:

lim x → 0 ⁡ s e n   x x 2 = 1 2 = 1

Passo 5

Juntando tudo, temos que:

- lim x → 0 ⁡ s e n   x x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 1 + sec ⁡ x cos 2 ⁡ x = - 1 ⋅ 1 2 = - 1 2

Resposta

- 1 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)