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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 25

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 + tan ⁡ x - 1 + sen ⁡ x x ³

Passo 1

Substituindo x teremos

lim x → 0 ⁡ 1 + tan ⁡ x - 1 + sen ⁡ x x ³ = 1 + 0 - 1 + 0 0 ³ = 1 - 1 0 = 0 0

Passo 2

Vamos multiplicar pelo conjugado.

lim x → 0 ⁡ 1 + tan ⁡ x - 1 + sen ⁡ x x 3 =

lim x → 0 ⁡ 1 + tan ⁡ x - 1 + sen ⁡ x x 3 . ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) =

lim x → 0 ⁡ 1 + tan ⁡ x - ( 1 + sen ⁡ x ) x 3 ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) =

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sen ⁡ x x 3 ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x )

Passo 3

Agora vamos expandir tan ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x x 3 ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x )

Podemos colocar sen ⁡ x em evidencia no numerador:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 cos ⁡ x - 1 x 3 ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) =

Olha só que maravilha! Podemos usar o limite fundamental trigonométrico, já que temos sen ⁡ x no numerador e x no denominado. Observe:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 cos ⁡ x - 1 x . x 2 ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) =

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x - 1 x 2 ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x )

Passo 4

Transformando o numerador em uma fração fazendo MMC:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x cos ⁡ x x 2 ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) =

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x ( cos ⁡ x ) x 2 ( 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x )

Passo 5

Observe que se multiplicarmos a função pelo conjugado de 1 - cos ⁡ x , obteremos 1 - cos ² ⁡ x . Sabemos que

1 - cos 2 ⁡ x = sen ² ⁡ x

E com isso poderemos usar de novo o limite fundamental trigonométrico. Então vamos nessa.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x cos ⁡ x x 2 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x . ( 1 + cos ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x ) =

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ² ⁡ x cos ⁡ x x 2 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x ) =

lim x → 0 ⁡ sen ² ⁡ x cos ⁡ x x 2 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x ) =

Agora podemos aplicar o limite fundamental trigonométrico.

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x )

Passo 6

Agora é só substituir x .

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x 1 + tan ⁡ x + 1 + sen ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x ) = 1 cos ⁡ 0 1 + tan ⁡ 0 + 1 + sen ⁡ 0 ) ( 1 + cos ⁡ 0 ) = 1 1 1 + 0 + 1 + 0 ) ( 1 + 1 ) = 1 2.2 = 1 4

Resposta

1 4

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)